Тематика дисциплины Контрольные вопросы Вариант

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФБГОУ ВПО «Тюменский государственный университет»

Нижневартовский экономико-правовой институт (филиал)

Кафедра математики и естественных наук


ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА


Учебно-методический комплекс

для студентов группы СЭ11 заочной формы обучения
Осенний семестр, лекций - 8 ч., семинаров – 8 ч., зачет

1. 
   Тематика дисциплины
   
2. 
   Контрольные вопросы
   
3. 
   Варианты контрольных заданий
   
4. 
   Решение варианта 0
   
5. 
   Литература
   

Составители: Н.П. Дмитриев

Е.А.Иликпаева

2012

1. Тематика дисциплины

1. 
   Высшая алгебра. Матрицы и действия над ними. Определители и их свойства. Вычисление определителей разложением по Лапласу. Системы линейных алгебраических уравнений. Матричный способ решения. Правило Крамера. Элементарные преобразования. Метод Гаусса. Упрощенная матрица. Ранг системы. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Жордана-Гаусса. Однородная система. Теорема Фредгольма.
   

1. 
   ^ Векторная алгебра. Понятие вектора. Коллинеарные и компланарные вектора. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость системы векторов. Базисы пространств малой размерности. Декартова система координат. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их геометрические и алгебраические свойства и выражения в координатах. Критерий перпендикулярности и коллинеарности двух векторов через их скалярное и векторное произведения. Критерий компланарности трех векторов через их смешанное произведение векторов. Вычисление площадей параллелограммов и объемов параллелепипедов через координаты их вершин.
   

1. 
   ^ Аналитическая геометрия. Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Взаимное расположение двух и трех прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми. Плоскость в пространстве. Виды уравнений плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух и трех плоскостей в пространстве. Угол между двумя плоскостями. Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых, плоскости и прямой в пространстве. Кривые на плоскости, их канонические уравнения и свойства. Поверхности в пространстве, их канонические уравнения и свойства
   

1. 
   ^ Линейная алгебра. Линейная зависимость системы векторов. Базисы пространств повышенной размерности. Линейные и евклидовы пространства. Подпространства и линейные многообразия. Ортогонализация базиса. Линейные операторы. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Собственные числа и собственные вектора. Ортогональные и симметрические матрицы. Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Геометрическая интерпретация преобразования квадратичной формы
   

^ 2. Контрольные вопросы

1. 
   Что такое матрица и ее определитель?
   
2. 
   Какие действия производятся над матрицами?
   
3. 
   Как вычисляется обратная матрица?
   
4. 
   Какая матрица называется диагональной?
   
5. 
   Какие матрицы называются коммутативными?
   
6. 
   Какие матрицы называются симметричными?
   
7. 
   Что называется определителем 2 порядка?
   
8. 
   Что называется определителем 3 порядка?
   
9. 
   В чем заключается правило Саррюса?
   
10. 
    Что такое алгебраическое дополнение элемента определителя?
    
11. 
    В чем состоит метод разложения определителя по Лапласу?
    
12. 
    Каковы основные свойства определителя?
    
13. 
    Как решаются матричные уравнения с помощью обратной матрицы?
    
14. 
    Что такое система линейных алгебраических уравнений?
    
15. 
    Что называется решением такой системы?
    
16. 
    Какая матрица называется вырожденной?
    
17. 
    В чем состоит правило Крамера?
    
18. 
    Что такое элементарные преобразования?
    
19. 
    Каков вид упрощенной матрицы?
    
20. 
    Что называется рангом системы?
    
21. 
    В чем суть метода Гаусса?
    
22. 
    Как формулируется теорема Кронекера-Капелли?
    
23. 
    Что такое однородная система линейных уравнений?
    
24. 
    Что такое вектор и его координаты?
    
25. 
    Какие действия производятся над векторами?
    
26. 
    Как вычисляется расстояние между точками на плоскости и в пространстве?
    
27. 
    Как определяется скалярное произведение векторов?
    
28. 
    Каковы алгебраические свойства скалярного произведения?
    
29. 
    Каковы геометрические свойства скалярного произведения?
    
30. 
    Каково выражение скалярного произведения в координатах?
    
31. 
    В чем состоит критерий параллельности векторов?
    
32. 
    в чем состоит критерий перпендикулярности векторов?
    
33. 
    Как определяется векторное произведение векторов?
    
34. 
    Каковы алгебраические свойства векторного произведения?
    
35. 
    Каковы геометрические свойства векторного произведения?
    
36. 
    Каково выражение векторного произведения в координатах?
    
37. 
    В чем состоит критерий параллельности векторов?
    
38. 
    Как вычислить площадь параллелограмма через векторное произведение?
    
39. 
    Как определяется смешанное произведение векторов?
    
40. 
    Каковы алгебраические свойства смешанного произведения?
    
41. 
    Каков геометрический смысл смешанного произведения?
    
42. 
    Каково выражение смешанного произведения в координатах?
    
43. 
    В чем состоит критерий компланарности векторов?
    
44. 
    Как вычислить объем тетраэдра через смешанное произведение?
    
45. 
    Какие бывают виды уравнений прямой на плоскости?
    
46. 
    Каково взаимное расположение двух прямых на плоскости?
    
47. 
    Как найти расстояние от точки до прямой?
    
48. 
    Как вычислить расстояние между параллельными прямыми?
    
49. 
    Как вычислить угол между пересекающимися прямыми?
    
50. 
    Какие бывают виды уравнений плоскости в пространстве?
    
51. 
    Каково взаимное расположение двух плоскостей в пространстве?
    
52. 
    Каково взаимное расположение трех плоскостей в пространстве?
    
53. 
    Какие бывают виды уравнений прямой в пространстве?
    
54. 
    Каково взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве?
    
55. 
    Каковы основные кривые второго порядка на плоскости?
    
56. 
    Что такое эллипс и каково его каноническое уравнение?
    
57. 
    Каковы основные характеристики эллипса?
    
58. 
    Что такое гипербола и каково ее каноническое уравнение?
    
59. 
    Каковы основные характеристики гиперболы?
    
60. 
    Что такое парабола и каково ее каноническое уравнение?
    
61. 
    Каковы основные характеристики параболы?
    
62. 
    Каковы основные поверхности второго порядка в пространстве?
    
63. 
    Каковы их канонические уравнения?
    
64. 
    В чем заключается метод сечений?
    
65. 
    Как определяется линейное пространство?
    
66. 
    Что такое базис линейного векторного пространства?
    
67. 
    Что такое координаты вектора линейного пространства?
    
68. 
    Как определяется подпространство?
    
69. 
    Чем подпространство отличается от линейного многообразия?
    
70. 
    Что такое сумма подпространств?
    
71. 
    Что такое пересечение подпространств?
    
72. 
    Как находятся собственные числа матрицы?
    
73. 
    Как находятся собственные векторы матрицы?
    
74. 
    Каким образом квадратная матрица приводится к диагональному виду?
    
75. 
    Что такое ортогональная матрица?
    
76. 
    Что такое симметрическая матрица?
    
77. 
    Каков вид билинейной формы?
    
78. 
    Каков вид квадратичной формы?
    
79. 
    Каким образом квадратичная форма приводится к каноническому виду?
    
80. 
    Что такое положительно определенная квадратичная форма?
    

3. Варианты контрольных заданий
Инструкция к оформлению

1. 
   Контрольную работу (КР) оформлять в среде Word с использованием таблицы Excel или математических пакетов для выполнения расчетной части
   
2. 
   Каждая КР выполняется согласно выбранному варианту. Номер варианта соответствует номеру фамилии студента в списке студенческой группы
   
3. 
   Все задачи должны быть решены четко и ясно со ссылками на известные теоремы и формулы
   
4. 
   В конце работы проставляется дата и подпись
   
5. 
   В случае, если КР не зачтена, делается работа над ошибками и она снова отправляется на проверку преподавателю
   

Тексты контрольных заданий №1

1. 
   Разложить вектор X по векторам P, Q, R. Систему решить 1) методом Крамера, 2) матричным методом, 3) методом Гаусса
   
2. 
   Треугольник АВС задан своими вершинами А, B, C. Найти: 1) уравнения сторон, 2) уравнение и длину высоты из точки А на сторону ВС, 3) площадь треугольника
   
3. 
   Тетраэдр АВСD задан своими вершинами А, B, C, D. Найти: 1) уравнения граней, 2) уравнение средней линии грани АВС, 3) объем тетраэдра
   
4. 
   Привести квадратичную форму, заданную матрицей, к каноническому виду
   

№ зад

Вариант 0

1

X=(1,7,1) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)


2

A(2,1) B(4,-3) C(-3,0)


3

A(2,1,4) B(-2,1,0) C(0,-3,-5) D(1,0,-3)


4

№ зад

Вариант 1

1

X=(4,-3,4) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)


2

A(3,1) B(4,-1) C(-3,5)


3

A(1,1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,-1) D(4,0,-3)


4

№ зад

Вариант 2

1

X=(-2,2,3) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)


2

A(3,0) B(4,-2) C(-4,6)


3

A(-1,1,4) B(-1,3,0) C(0,-4,-1) D(4,0,-5)


4

№ зад

Вариант 3

1


X=(6,0,6) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)


2

A(3,0) B(4,-1) C(-4,1)


3

A(2,1,5) B(-4,3,0) C(0,-2,-1) D(4,0,-4)


4

№ зад

Вариант 4

1


X=(9,-1,2) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)


2

A(3,-2) B(4,-1) C(-3,6)


3

A(1,-1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,1) D(4,0,-2)


4

№ зад

Вариант 5

1


X=(4,-3,4) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)


2

A(3,1) B(4,-1) C(-3,5)


3

A(1,1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,-1) D(4,0,-3)


4

№ зад

Вариант 6

1


X=(-5,2,2) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)


2

A(3,0) B(4,-2) C(-4,6)


3

A(-1,1,4) B(-1,3,0) C(0,-4,-1) D(4,0,-5)


4

№ зад

Вариант 7

1


X=(3,1,5) P(0,1,2) Q(1,1,0) R(3,-1,1)


2

A(3,0) B(4,-1) C(-4,1)


3

A(2,1,5) B(-4,3,0) C(0,-2,-1) D(4,0,-4)


4

№ зад

Вариант 8

1


X=(-5,-7,7) P(-1,0,2) Q(0,-2,1) R(3,1,0)


2

A(3,-2) B(4,-1) C(-3,6)


3

A(1,-1,4) B(-2,3,0) C(0,-3,1) D(4,0,-2)


4