Тема 5. Моделирование одномерных временных рядов

Тема 5. Моделирование одномерных временных рядов

1. Основные элементы временного ряда. Специфика статистической оценки временных рядов.

2. Автокорреляция уровней временного ряда и выявление его структуры.

3. Моделирование сезонных и циклических колебаний.

4. Моделирование тенденции временного ряда при наличии структурных изменений. Тест Чоу.

1. Ряды динамики – статистические данные, отображающие развитие во времени изучаемого явления. Их также называют динамическими рядами, временными рядами .

В каждом ряду динамики имеется два основных элемента:

1) показатель времени t;

2) соответствующие им уровни развития изучаемого явления y;

В качестве показаний времени в рядах динамики выступают либо определенные даты (моменты), либо отдельные периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки).

Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития во времени изучаемого явления. Они могут выражаться абсолютными, относительными или средними величинами.

Ряды динамики различаются по следующим признакам:

1) По времени. В зависимости от характера изучаемого явления уровни рядов динамики могут относиться или к определенным датам (моментам) времени, или к отдельным периодам. В соответствии с этим ряды динамики подразделяются на моментные и интервальные.

Моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на определенные даты (моменты) времени. Особенностью моментного ряда динамики является то, что в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности. Хотя и в моментном ряду есть интервалы – промежутки между соседними в ряду датами, величина того или иного конкретного уровня не зависит от продолжительности периода между двумя датами. Поэтому при суммировании уровней моментного ряда может возникнуть повторный счет.

Интервальные ряды динамики отражают итоги развития (функционирования) изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени.

Каждый уровень интервального ряда уже представляет собой сумму уровней за более короткие промежутки времени. При этом единица совокупности, входящая в состав одного уровня, не входит в состав других уровней. Особенностью интервального ряда динамики является то, что каждый его уровень складывается из данных за более короткие интервалы (субпериоды) времени. При прочих равных условиях уровень интервального ряда тем больше, чем больше длина интервала, к которому этот уровень относится .

Свойство суммирования уровней за последовательные интервалы времени позволяет получить ряды динамики более укрупненных периодов.

Статистическое отображение изучаемого явления во времени может быть представлено рядами динамики с нарастающими итогами. Их применение обусловлено потребностями отображения результатов развития изучаемых показателей не только за данный отчетный период, но и с учетом предшествующих периодов. При составлении таких рядов производится последовательное суммирование смежных уровней. Этим достигается суммарное обобщение результата развития изучаемого показателя с начала отчетного периода (года, месяца, квартала и т. д.) .

2) По форме представления уровней. Могут быть построены также ряды динамики, уровни которых представляют собой относительные и средние величины. Они также могут быть либо моментными либо интервальными.

В интервальных рядах динамики относительных и средних величин непосредственное суммирование уровней само по себе лишено смысла, так как относительные и средние величины являются производными и исчисляются через деление других величин.

3) По расстоянию между датами или интервалам времени выделяют полные или неполные ряды динамики.

Полные ряды динамики имеют место тогда, когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами. Это равноотстоящие ряды динамики. Неполные – когда принцип равных интервалов не соблюдается.

4) По числу показателей можно выделить изолированные и комплексные (многомерные) ряды динамики. Если ведется анализ во времени одного показателя, имеем изолированный ряд динамики. Комплексный ряд динамики получается в том случае, когда в хронологической последовательности дается система показателей, связанных между собой единством процесса или явления

Требования, предъявляемые к рядам динамики

1) Сопоставимость статистических данных

Ряды динамики формируются в результате сводки и группировки материалов статистического наблюдения. Повторяющиеся во времени (по отчетным периодам) значения одноименных показателей в ходе статистической сводки систематизируются в хронологической последовательности. При этом каждый ряд динамики охватывает отдельные обособленные периоды, в которых могут происходить изменения, приводящие к несопоставимости отчетных данных с данными других периодов. Поэтому для анализа ряда динамики необходимо приведение всех составляющих его элементов к сопоставимому виду. Для этого в соответствии с задачами исследования устанавливаются причины, обусловившие несопоставимость анализируемой информации, и применяется соответствующая обработка, позволяющая производить сравнение уровней ряда динамики.

2)Величины временных интервалов должны соответствовать интенсивности изучаемых процессов. Чем больше вариация уровней во времени, тем чаще следует делать замеры. Соответственно для стабильных процессов интервалы можно увеличить.

3)Числовые уровни рядов динамики должны быть упорядоченными во времени. Не допускается анализ рядов с пропусками отдельных уровней, если же такие пропуски неизбежны, то их восполняют условными расчетными значениями.

При статистической оценке взаимосвязи двух временных рядов рекомендуется применять их разложение на несколько компонент, одна из которых является тредовой, а другая описывает регулярные (например, сезонные) колебания, иначе результаты исследования будет тяжело интерпретировать, либо они будут интерпретированы неверно.

Эконометрическую модель можно построить, используя два типа исходных данных:

данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (период) времени;
данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени.

Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные по данным второго типа, называются моделями временных рядов.

Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов (периодов) времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

факторы, формирующие тенденцию ряда;
факторы, формирующие циклические колебания ряда;
случайные факторы.

При различных сочетаниях этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать разные формы.

Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. По всей видимости, эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию.

Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка, а также с фазой бизнес-цикла, в которой находится экономика страны.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклическую компоненту, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты.

Чаще всего модели содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда — выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент, с тем чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

2. При наличии тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих значений. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Разумно предположить, что каждое значение временного ряда зависит от значений предыдущих лет. Определим коэффициент корреляции между рядами и измерим тесноту связи между предыдущим и последующим значениями. Для этого формируем ряд

путем сдвига исходного ряда на один момент времени. (Расчет начинается со второй пары значений, т.к. у первого значения пары нет). В качестве переменной х рассматривается ряд у2, у3,…у8; в качестве переменой у – ряд у1, у2,…,у7.

Коэффициент корреляции имеет вид:

где

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда t и t-1, т. е. при лаге 1.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями ряда уt, и y t-2 и определяется по формуле:

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называется лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило «максимальный лаг должен быть не больше п/4».

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции

Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и, таким образом, характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом они могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, следовательно, лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т. е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка

, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в

моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать предположение относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний и имеет структуру сходную со структурой ряда, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия отсутствия трендовой компоненты Т и циклической (сезонной) компоненты S.

Аналогично, если, например, при анализе временного ряда наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции второго порядка, ряд содержит циклические колебания с циклом, равным двум периодам времени, т. е. имеет пилообразную структуру.

3. Известно несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания. Простейший подход - расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.

Общий вид аддитивной модели следующий:

Y=Т+ S + E.

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой Т, сезонной S и случайной Е компонент. Общий вид мультипликативной модели выглядит так:

Y=T*S*E

Данная модель предполагает, что каждый уровень временного может быть представлен как произведение трендовой Т, сезонной S и случайной Е компонент. Выбор одной из двух моделей проводится на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений Т, S и Е для каждого уровня ряда.

Процесс построения моделей включает в себя следующие шаги:

Шаг 1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

Шаг 2. Расчет значений сезонной компоненты S.

Шаг 3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т+Е) в аддитивной (Т*Е) в мультипликативной модели.

Шаг 4. Аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) или (Т*Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.

Шаг 5. Расчет полученных по модели значений (Т+S) или (T*S).

Шаг 6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Е для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Выявление и устранение сезонного эффекта используются в двух направлениях.

Во-первых, воздействие сезонных колебаний следует устранять на этапе предварительной обработки исходных данных при изучении взаимосвязи нескольких временных рядов. Поэтому в российских и международных статистических сборниках часто публикуются данные, в которых устранено влияние сезонной компоненты (если это помесячная или квартальная статистика).

Во-вторых, выявление сезонного эффекта производится в анализе структуры одномерных временных рядов с целью прогнозирования уровней ряда в будущие моменты времени.

4. От сезонных и циклических колебаний следует отличать единовременные изменения характера тенденции временного ряда, вызванные структурными изменениями в экономике и иными факторами. В этом случае, начиная с некоторого момента времени t, происходит изменение характера динамики изучаемого показателя,что приводит к изменению параметров тренда, описывающего эту динамику.

Момент (период) времени t* сопровождается значительными изменениями ряда факторов, оказывающих сильное воздействие на изучаемый показатель уt. Чаще всего эти изменения вызваны изменениями в общеэкономической ситуации или факторами (событиями) глобального характера, приведшими к изменению структуры экономики (например, начало крупных экономических реформ, изменение экономического курса, нефтяные кризисы и прочие факторы). Если исследуемый временной ряд включает в себя соответствующий момент (период) времени, то одной из задач его изучения становится выяснение вопроса о том, значимо ли повлияли общие структурные изменения на характер этой тенденции.

Если это влияние значимо, то для моделирования тенденции данного временного ряда следует использовать кусочно-линейные модели регрессии, т. е. разделить исходную совокупность на две подсовокупности (до момента времени t* и после момента t*) и построить отдельно по каждой подсовокупности уравнения линейной регрессии.

Если структурные изменения незначительно повлияли на характер тенденции ряда уt ,то ее можно описать с помощью единого для всей совокупности данных уравнения тренда.

Каждый из описанных выше подходов имеет свои положительные и отрицательные стороны. При построении кусочно-линейной модели происходит снижение остаточной суммы квадратов, по сравнению с единым для всей совокупности уравнением тренда. Однако разделение исходной совокупности на две части ведет к потере числа наблюдений и, следовательно, к снижению числа степеней свободы в каждом уравнении кусочно-линейной модели. Построение единого для всей совокупности уравнения тренда, напротив, позволяет сохранить число наблюдений п исходной совокупности, однако остаточная сумма квадратов по этомy уравнению будет выше по сравнению с кусочно-линейной моделью. Очевидно, что выбор одной из двух моделей (кусочно-линейной или единого уравнения тренда) будет зависеть от соотношения между снижением остаточной дисперсии и потерей числа степеней свободы при переходе от единого уравнения регрессии к кусочно-линейной модели.

Тест Чоу – это метод, который позволяет проверить предположение о необходимости разбиения основной выборочной совокупности на части, или подвыборки.

Выдвинем гипотезу Но о структурной стабильности тенденции изучаемого временного ряда.

Условные обозначения для алгоритма теста Чоу

Номер уравнения

Вид уравнения

Число наблюдений в совокупности

Остаточная сумма квадратов

Число параметров в уравнении

Число степеней свободы остаточной дисперсии

Кусочно-линейная модель

(1)

y(1)=a1+b1t

n1

C1ост

k1

n1-k1

(2)

y(2)=a2+b2t

n2

C2ост

k2

n2-k2

Уравнение тренда по всей совокупности

(3)

y(3)=a3+b3t

n

C3ост

k3

n-k3 = (n1+n2)-k3

Остаточную сумму квадратов по кусочно-линейной модели (Склост) можно найти как сумму С'ост. и С2ост.

Склост= С'ост. + С2ост.

Соответствующее ей число степеней свободы составит:

(n1-k1)+(n2+k2)=(n-k1-k2)

Тогда сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения тренда к кусочно-линейной модели можно определить следующим образом:

Число степеней свободы, соответствующее

, с учетом соотношения (6.19) будет равно:

п-к3–(n-k1-к2) = к1+к2—к3.

Далее в соответствии с предложенной Г. Чоу методикой определяется фактическое значение F-критерия по следующим дисперсиям на одну степень свободы вариации:

Fфакт характеризует улучшение качества модели регрессии после разделения ее на подвыборки. Найденное значение Fфакт сравнивают с табличным, полученным по таблицам распределения Фишера для уровня значимости

и числа степеней свободы (k1 + k2 – k3) и (n – k1 - k2).

Если Fфакт>Fтабл, то гипотеза о структурной стабильности тенденции отклоняется, а влияние структурных изменений на динамику изучаемого показателя признают значимым. В этом случае моделирование тенденции временного ряда следует осуществлять с помощью кусочно-линейной модели (т.е. качество частных моделей регрессии превосходит качество основной модели регрессии без ограничений).

Если FфактFтабл, то нет оснований отклонять нулевую гипотезу о структурной стабильности тенденции. Ее моделирование следует осуществлять с помощью единого для всей совокупности уравнения тренда (т.е. нет необходимости разбивать основную модель).

Особенности теста Чоу:

1). Если число параметров во всех уравнениях (1), (2), (3) одинаково и равно к, то формула упрощается:

2). Тест Чоу позволяет сделать вывод о наличии или отсутствии структурной стабильности в изучаемом временном ряде. Если FфактFтабл, то это означает, что уравнения (1) и (2) описывают одну и ту же тенденцию, а различия численных оценок их параметров а1 и а2, а также b1 и b2 соответственно статистически незначимы. Если же Fфакт>Fтабл,, то гипотеза о структурной стабильности отклоняется, что означает статистическую значимость различий в оценках параметров уравнений (1)и (2).

3). Применение теста Чоу предполагает соблюдение предпосылок о нормальном распределении остатков в уравнениях (1) и (2) и независимость их распределений.

Ели гипотеза о структурной стабильности тенденции ряда уt отклоняется, дальнейший анализ может заключаться в исследовании вопроса о причинах этих структурных различий и более детальном изучении характера изменения тенденции. В принятых нами обозначениях эти причины обусловливают различия оценок параметров уравнений (1) и (2).

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте понятие временного ряда. Перечислите его основные характеристики.

2. Что такое автокорреляция уровней временного ряда и как ее можно оценить количественно?

3. Перечислите основные виды трендов.

4. Выпишите общий вид аддитивной и мультипликативной моделей временного ряда.

5. Перечислите этапы построения модели временного ряда.

6. С какими целями проводится выявление и устранение сезонного эффекта?

Рекомендуемая литература

Арженовский С.В., Федосова О.Н. Эконометрика: Учебное пособие / Рост. гос. экон. универ. Ростов н/Д., 2002. - 102 с.

Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и прогнозирование. – М.: Финансы и статистика, 2001.

Эконометрика: Учебник /Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002.-480 с.

Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. – М.: Финансы и статистика, 2000.