Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
УТВЕРЖДЕНО
Ученым советом факультета математики и информационных технологий
Протокол №________ от «____»_________2008 г.
Председатель __________________А.А. Бутов
(подпись, расшифровка подписи)
Рабочая программа
Дисциплина:
Математический анализ
Кафедра:
Алгебро-геометрических вычислений ____(АГВ)____
(аббревиатура)
^
(код специальности (направления), полное наименование)
Дата введения в учебный процесс УлГУ: «_____» ___________ 2008 г.
Сведения о разработчиках:
ФИО
Аббревиатура кафедры
Ученая степень, звание
Штраус Леонид Авраамович
АГВ
к.ф.-м.н., доцент
Заведующего кафедрой
Мищенко С.П. /_____________/
(ФИО) (Подпись)
«______»__________ 2008 г.
Оглавление
2
Оглавление 2
^
1.1.Цели 2
1.2.Задачи 2
2.ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 2
3.1.Объем дисциплины и виды учебной работы: 3
3.2.Распределение часов по темам и видам учебной работы: 3
3.СОДЕРЖАНИЕ 5
^
5.ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ 6
6.УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ. 9
7.1.Рекомендуемая литература: 9
^
Учебная дисциплина «Математический анализ» является одной из фундаментальных математических дисциплин, изучаемых студентами первых курсов, обучающихся на специальностях математического профиля. Она является обязательной общепрофессиональной дисциплиной. «Математический анализ и алгебра, переплетаясь, образовали ту корневую систему, на которой держится разветвлённое дерево современной математики и через которую происходит его основной живительный контакт с внематематической сферой. Именно по этой причине основы анализа включаются как необходимый элемент даже самых скромных представлений о так называемой высшей математике». На языке математического анализа построены модели и изучаются закономерности многих процессов реального мира.
Дисциплина «Математический анализ» базируется на знаниях и умениях, полученных студентами в школе.
Цели
Целями изучения дисциплины являются:
овладение начальными знаниями по математическому анализу, необходимыми для изучения других дисциплин специальности
развитие навыков решения задач по математическому анализу
Задачи
Основными задачами учебной дисциплины являются:
1. формирование у будущих математиков комплексных знаний об основных структурах и методах исследования в математическом анализе.
2. приобретение студентами навыков и умений по решению простейших задач математического анализа.
- ^
ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В результате изучения дисциплины «Математический анализ» студенты должны
знать основные понятия (и соответствующие факты ) данного курса:
множества и функции, поле действительных чисел, предел последовательности и функции, непрерывность функции, точки разрыва, дифференцируемая функция, дифференциал, производная, монотонная функция, экстремум, выпуклость, точки перегиба, асимптоты;
уметь решать простейшие задачи по данному курсу:
1. Находить пределы последовательностей; находить пределы рациональных и иррациональных выражений непосредственно и с помощью табличных эквивалентностей.
2. Находить точки разрыва функции и определять их тип.
3. Владеть техникой дифференцирования: применять правило дифференцирования сложной функции, приём логарифмического дифференцирования, дифференцировать параметрически и неявно заданные функции, находить производные высших порядков.
4. Применять дифференциал и формулу Тейлора к приближённым вычислениям, в том числе с заданной степенью точности.
5. Находить пределы (раскрывать неопределённости) с помощью правила Лопиталя и формулы Тейлора.
6. Проводить с помощью производной исследование функций и строить их графики.
3. ОБЪЁМ ДИСЦИПЛИНЫ- ^
Объем дисциплины и виды учебной работы:
Вид учебной работы^ Количество часов (форма обучения очная)Всего по плануВ т.ч. по семестрам1231
2
3
4
5
Аудиторные занятия:
144
144
Лекции
72
72
практические и семинарские занятия
72
72
Самостоятельная работа
144
144
Всего часов по дисциплине
288
288
Текущий контроль (количество и вид, контрольные работы)
3
3
Курсовая работа
Виды промежуточной аттестации (экзамен, зачет)
зачет,
экзамен
зачет,
экзамен
- ^
Распределение часов по темам и видам учебной работы:
Форма обучения очная
^ Название и разделов и темВсегоВиды учебных занятий^ Аудиторные занятияСамостоятельная работалекциипрактические занятия, семинар123451. Множества и функции
9
6
3
9
2. Поле действительных чисел
7
6
1
7
3. Предел последовательности
16
10
6
16
4. Предел функции
26
10
16
26
5. Непрерывные функции
16
10
6
16
6. Дифференцируемые функции
24
10
14
24
7. Основные теоремы дифференциального исчисления
20
10
10
20
8. Исследование функций с помощью производных. Построение графика функции.
26
10
16
26
Итого
1447272144 СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1: Множества и функции.
Множества и операции над ними. Отношения на множествах. Функции. Простейшая классификация функций. Свойства функций. Функция как отношение. Мощность множества. Теорема Кантора-Бернштейна. Счётные множества и их свойства. Мощность множества рациональных чисел. Существование несчётных множеств. Континуум. Мощность множества всех подмножеств данного множества.
Тема 2: Поле действительных чисел.
Принципы минимума и математической индукции для
. Определение поля и упорядоченного поля. Примеры. Грани числовых множеств. Полное поле. Неполнота поля Q. Вещественные числа как бесконечные дроби. Плотность Q в R. Принципы полноты поля R. Открытые и замкнутые множества в R, их свойства. Понятие секвенциальной компактности. Принцип Больцано-Вейерштрасса. Понятие компактности. Лемма Бореля-Лебега.
Тема 3. Предел последовательности.
Определение предела последовательности. Единственность. Ограниченность сходящейся последовательности. Арифметические свойства. Предельный переход в неравенствах. Фундаментальность. Критерий Коши. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. Число е. Подпоследовательность и частичный предел последовательности. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Нижний и верхний пределы последовательности. Их свойства.
Тема 4. Предел функции.
Предел функции в точке. Эквивалентность определений по Гейне и Коши. Бесконечно малые и финально ограниченные величины. Их свойства. Арифметические свойства предела функции. Предельный переход в неравенствах. Первый и второй замечательные пределы.Предел функции по базе. Предел композиции функций. Критерий Коши существования предела функции. Сравнение асимптотического поведения функций. Свойства
Тема 5. Непрерывные функции.
Непрерывность функции в точке. Различные определения. Непрерывность основных элементарных функций. Односторонние пределы. Точки разрыва и их классификация. Колебание функции в точке. Критерий непрерывности Бэра. Локальные свойства непрерывных функций: ограниченность, сохранение знака, непрерывность суммы, произведения, частного, композиции. Глобальные свойства: теорема Больцано-Коши о промежуточном значении и её следствие. Теорема Вейерштрасса о максимальном значении. Критерий непрерывности монотонной функции. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. Теорема об обратной функции.
Тема 6. Дифференцируемые функции.
Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Примеры вычисления. Односторонние производные. Касательная. Производные суммы, произведения, частного. Дифференцируемость функции в точке. Связь с существованием производной. Непрерывность дифференцируемой функции. Дифференциал,его свойства, геометрический смысл. Производная сложной функции. Инвариантность формы дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
Тема 7. Основные теоремы дифференциального исчисления.
Теоремы Ферма, Ролля и теорема Лагранжа о конечном приращении. Теорема Коши. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Коши. Локальная формула Тейлора. Формулы Тейлора основных элементарных функций. Оценка остаточного члена. Приближённые вычисления. Правило Лопиталя.
Тема 8. Исследование функций с помощью производных. Построение графика функции.
Условия монотонности функции. Необходимые условия внутреннего экстремума. Достаточные условия экстремума ( в том числе в терминах высших производных). Выпуклая функция. Необходимые и достаточные условия выпуклости для дважды дифференцируемой функции. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Схема полного исследования функции. Построение графиков.
- ^
ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
1. Множества и функции. Поле действительных чисел.
2. Предел последовательности и подпоследовательности.
3. Предел функции.
4. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация.
5. Равномерная непрерывность функции.
6. Техника дифференцирования.
7. Геометрический смысл производной.
8. Дифференциал.
9. Производные и дифференциалы высших порядков.
10. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
11. Формула Тейлора.
12. Раскрытие неопределённостей с помощью правила Лопиталя.
13. Нахождение промежутков монотонности, точек экстремума, наибольших и наименьших значений, промежутков выпуклости, точек перегиба. Доказательство неравенств.
14. Построение графиков функций, а также кривых, заданных параметрически и в полярных координатах.
- ^
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ
Требования к уровню знаний и умений студентов на зачете.
Необходимо владеть основными понятиями и решать простейшие задачи по данному курсу:
1. Находить пределы последовательностей; находить пределы рациональных и иррациональных выражений непосредственно и с помощью табличных эквивалентностей.
2. Находить точки разрыва функции и определять их тип.
3. Владеть техникой дифференцирования: применять правило дифференцирования сложной функции, приём логарифмического дифференцирования, дифференцировать параметрически и неявно заданные функции, находить производные высших порядков.
4. Применять дифференциал и формулу Тейлора к приближённым вычислениям, в том числе с заданной степенью точности.
5. Находить пределы (раскрывать неопределённость) с помощью правила Лопиталя и формулы Тейлора.
6. Проводить с помощью производной исследование функций и строить их графики.
^ ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА1. Множества и операции над ними. Отношения на множествах.
2. Функции. Простейшая классификация функций. Свойства функций. Функция как отношение.
3. Мощность множества.Теорема Кантора-Бернштейна.
4. Счётные множества и их свойства. Мощность множества рациональных чисел.
5. Существование несчётных множеств. Континуум.
6. Мощность множества всех подмножеств данного множества.
7. Принципы минимума и математической индукции для
.
8.Определение поля и упорядоченного поля. Примеры.
9. Грани числовых множеств. Полное поле. Неполнота поля Q.
10. Вещественные числа как бесконечные дроби. Плотность Q в R.
11.Принципы полноты поля R.
12. Открытые и замкнутые множества в R, их свойства.
13. Понятие секвенциальной компактности. Принцип Больцано-Вейерштрасса.
14. Понятие компактности. Лемма Бореля-Лебега.
15. Определение предела последовательности. Единственность. Ограниченность сходящейся последовательности.
16.Арифметические свойства предела последовательности.
17. Предельный переход в неравенствах для последовательностей.
18. Фундаментальность. Критерий Коши сходимости последовательности.
19. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. Число е.
20. Подпоследовательность и частичный предел последовательности. Лемма Больцано-Вейерштрасса.
21. Нижний и верхний пределы последовательности. Их свойства.
22. Предел функции в точке. Эквивалентность определений по Гейне и Коши.
23. Бесконечно малые и финально ограниченные величины. Их свойства.
24. Арифметические свойства предела функции.
25. Предельный переход в неравенствах для функций.
26. Первый и второй замечательные пределы.
27. Определение предела функции по базе. Примеры.
28. Предел композиции функций.
29. Критерий Коши существования предела функции.
30.Сравнение асимптотического поведения функций. Свойства
31. Непрерывность функции в точке. Различные определения. Непрерывность основных элементарных функций.
32.Односторонние пределы. Точки разрыва функции и их классификация.
33.Колебание функции в точке. Критерий непрерывности Бэра.
34. Локальные свойства непрерывных функций: ограниченность, сохранение знака, непрерывность суммы, произведения, частного, композиции.
35.Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении и её следствие.
36. Теорема Вейерштрасса о максимальном значении.
37. Критерий непрерывности монотонной функции.
38. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.
39.Теорема об обратной функции.
40. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Примеры вычисления. Односторонние производные.
41. Касательная. Различные подходы к её определению.
42. Производные суммы, произведения, частного.
43.Дифференцируемость функции в точке. Связь с существованием производной. Непрерывность дифференцируемой функции.
44.Дифференциал,его свойства, геометрический смысл.
45.Производная сложной функции. Инвариантность формы дифференциала.
46. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
47.Теоремы Ферма и Роля. Геометрический смысл теоремы Ролля.
48. Теорема Лагранжа о конечном приращении и её геометрический смысл.
49. Теорема Коши и её геометрический смысл.
50. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Коши.
51. Локальная формула Тейлора.
52.Формулы Тейлора основных элементарных функций. Оценка остаточного члена. Приближённые вычисления.
53. Правило Лопиталя.
54.Условия монотонности функции. Необходимые условия внутреннего экстремума.
55. Достаточные условия экстремума ( в том числе в терминах высших производных). 56.Выпуклая функция. Необходимые и достаточные условия выпуклости для дважды дифференцируемой функции. Точки перегиба.
57.Асимптоты кривых.
^ Пример экзаменационного билета Кафедра_Алгебро-геометрических вычислений. Факультет математики и информационных технологий_
Специальность: прикладная математика и информатика, математика.
Дисциплина математический анализ. Форма обучения: очная. Курс 1.
Билет №1
1.Счётные множества. Существование несчётных множеств. Континуум.
2. Определение предела последовательности. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. Число е.
3. Односторонние пределы функции. Точки разрыва и их классификация.
4. Найти предел
.
5. Найти предел
.
6. Непрерывность функции в точке. Свойство сохранения знака.
7. Производные высших порядков. Формула Лейбница.
8. Найти производную
.
9. Найти производную
.
10. Найти первую и вторую производные функции, заданной параметрически:
11. Указать точки недифференцируемости функции
.
12. Теорема Ролля и её геометрический смысл.
13. Формула Маклорена (Тейлора) для функции
с остаточным членом в форме Лагранжа.
14. Нарисовать эскиз графика функции
.
15. Нарисовать эскиз графика функции
.
При выполнении экзаменационного задания требуется решить задачи, сформулировать соответствующие определения и теоремы и привести доказательство одной из них по выбору студента.
- ^
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.
-
1. Зорич В.А. Математический анализ, часть 1-М.: Наука,1981.-544с.
2. Камынин Л.И. Курс математического анализа. Т 1.:Учебник.-М.:Изд-во МГУ, 1993-400 с.
3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб.пособие для вузов.- М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2002.- 558 с.
4. Ляшко И.И., Боярчук А.А., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математический анализ в примерах и задачах, ч.1. Введение в анализ, производная, интеграл. – Киев, Издательское объединение «Вища школа», 1974.-680 с.
5.Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчёты: Учебное пособие. 3-е изд., испр.-СПб.: Издательство «Лань», 2005. -240 с.
6. Штраус Л.А., Баринова И.В. Пределы: методические указания для студентов факультета математики и информационных технологий и факультета управления.- Издательство УлГУ, 2007-25 с.
Форма А Страница из
